ツールボックスのツールを使うと下の３パターンで「ある部分」を削除することができます。

ダイレクト選択ツールとはさみツールを使った場合、下図のようにオープンパスになりますので、そのオブジェクトに線の指定をしたい場合などは、2点をダイレクト選択ツールで選択し、「Ctrl(command)キー」で連結して下さい。直線で結びたくない場合は、ペンツールでその２点を結ぶベジェ曲線を描きます。

あとは円に別のオブジェクトを重ねパスファインダを使って別の形のオブジェクトを作成する方法もあります。